根号x^2-1的不定积分 1/x根号x^2-1的不定积分

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发布于2023-02-20

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　 根号x^2-1的不定积分是（1／2【arcsinx+x√（1-x^2）】+C，x=sinθ，dx=cosθdθ。=∫（1+cos2θ）／2 dθ=θ／2+（sin2θ）／4+C。=（arcsinx）／2+（sinθcosθ）／2+C，=（arcsinx）／2+（x√（1-x^2））／2+C。=（1／2）【arcsinx+x√（1-x^2）】+C。

　　不定积分求法：

　　1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。

　　2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

　　（1）第一类换元法（即凑微分法）。通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

　　（2）第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。

　　3、分部积分法。设函数和u，v具有连续导数，则d（uv）=udv+vdu。移项得到udv=d（uv）-vdu

　　两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。

　　不定积分公式

　　1、∫kdx=kx+c

　　2、∫x^udx=（x^（u+1））／（u+1）+c

　　3、∫1/xdx=ln|x|+c

　　4、∫a^xdx=（a^x）／lna+c

　　5、∫e^xdx=e^x+c

　　6、∫sinxdx=-cosx+c

　　7、∫cosxdx=sinx+c

　　8、∫1／（cosx）^2dx=tanx+c

　　拓展资料

　　这个根号下的不定积分，符合模型∫√a²-x²dx，本题中就是a=1的情况。根据sin²x+cos²x=1，用sinθ替换x，然后被积函数，被积变量都要改变。

　　要做出如图所示的三角形，更容易加深理解。最后要把中间变量θ变回x

　　不定积分的意义

　　一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

　　若在有限区间【a，b】上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

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